複素空間と位数

３次元の複素数

　複素数z=x+yiを座標表現する方法を記す。虚数の多価性を認めるために、価数nを表すとき、
　　
　とおく。xを位数と呼ぶことにする。すると、複素数zは
　　
　となる。a、b、cで張られる空間C(a,b,c)を複素空間と呼ぶ。Isは位軸である。
　　

複素対数からみた位数部

　log(-a)は真数が負の対数で、log a +log(-1)となる。複素空間で表すと、
　　
　となる。log(-a)+log b = log(-ab)となる。
　log(-1)は位数にnが含まれるが、位数には必ず虚数が含まれる。すなわち、虚部は純虚数部と位数部からなる。(2n+1)πiのうちπiが純虚数部であり、2nπi=2πxが位数部である。次のように定義する。

　すべての複素数には、実数部と純虚数部と位数部がある。

　したがって、実数部をR軸、純虚数部をI軸、位数部をIs軸でものさす空間を張ることは理にかなう。