第１章 線形物理学

線形力学

　物理学は自然を数学のことばで語る学問である。物理現象を大きく２つに分けてみる。線形現象と非線形現象である。線形現象とは、ケプラー力学から、振動子、滑車、てこなどのニュートン力学、解析力学や相対論と量子論、標準模型までの素粒子論を指す。非線形現象とは、海や川やコーヒーの渦などの流体、雲や雪や台風と島や入江や山脈などの複雑系、表皮と分枝と体節、DNAや微小管、卵から脳に至る発生力学を含む生命力学を指す。本章では線形力学を扱う。
　２０世紀によく知られたように、線形力学では２つの形態が発見されている。粒と波である。光と電子をモデルとして、電磁気と物質は粒と波の二面性をもっていることがわかっていた。しかし、２０世紀に見落とされたもうひとつの形態がある。面である。

面とエネルギー

　面は万有引力の法則にも登場していた。F=GMm/r^2 の分母 r^2 は面積である。わかりやすくするために、πを掛けて、S=πr^2 とおいた FS=GπMm. を使って説明する。ここでSは円の面積である。質量Mの物体と質量mの物体は距離rだけ離れている。質量Mの物体を中心に考えると、線分Mmは点Mを中心とした円を掃く。線分Mmの長さがrであるから、掃く面積はπr^2となる。これをケプラーの太陽モデルという。
　クーロンの法則においても同様である。F=1/4πr^2 * 1/ε * Qq.と表そう。S=4πr^2は半径rの球の表面積である。したがって、FS=Qq/εとは線分Qqは点Qを中心とした球を掃く。線分Qqの長さがrであるから、掃く面積は4πr^2となる。これをラザフォード―長岡の原子モデルという。

面力

　この面にエネルギーは平等にそそぐので、面積はエネルギーである。地球の表面積のうち太陽が照らす面積は太陽エネルギーの量と等価とみてよい。式で表すと、ざっと E=gc^2/Gπ * S, S=πr^2. となる。また、S=4πr^2 のとき、エネルギーは E=σST^4, Tλ=const. となる。このように、太陽モデルのとき、エネルギーは円盤であり、原子モデルのとき、エネルギーは温度の４乗または波数の４乗を掛けた球面である。これをエネルギー面といい、FSを面力という。エネルギー面には、円盤や球面のほかにも、直交波面、リーマン面など、さまざまな形がある。