第３回 造形数学
３回目は造形数学です。いま建築、彫刻、陶芸など、アートの世界で起こりつつある革命とは、数学とアートの融合です。いままではアートが新しい形を提供してきました。建築では、ル・コルビジェの５原則と「モジュロール」、レム・コールハースの重力に逆らう形態、伊東豊雄の透明で柔らかい多層構造は、モノの形を自由にしていく歴史でもありました。
現在メディア系のアーティストたちは、プログラミング言語を駆使し、感覚に訴える手法を模索しています。ＣＡＤと３Ｄ出力装置を利用し、不可能な知恵の輪やクラインの壷をはじめとする「ヒトの手ではつくれない形」を製作することができるようになりました。数学が提供する新たな形が、アートに影響を与えはじめているのです。
造形数学の父はマンデルブロ
マンデルブロ（1924-2010）は、1975年の論文で「フラクタル」の概念を提示し、その４年後に複素数の差分方程式として定義される「ジュリア集合」を発表しました。このアイデアの肝は、次元を自然数ではなく実数に拡張したことです。われわれが住む世界は３次元だと思いがちですが、この世界には小数次元でできている形態がありふれています。雲、入江、葉、海面の漣。複素数まで拡張した数学で、ユークリッドの思想が拡張され、自然を数学で記述する自由度が飛躍的に高まりました。
次元の実数化は、シミュレーションによって新しい形を生むことを可能にしました。形から方程式を導くこと、すなわち粘土を捏ねるようにしてプロトタイプをつくり、エレガントな数式に落としていく方法。これを造形数学と呼んでいます。
ロココ積分
アルキメデスの螺旋はε=αφという単純な数式で表されることが知られています。しかしその螺旋の長さを求めるには、３次元極座標に落とさなければなりませんでした。巻貝の体積を求めるには、たとえば次の式はどうでしょう。
図右のように巻貝を分解し、螺旋でぐるっとひと周りさせることで体積を求める方法です。何周か周るパラメータθと、漸次拡大するパラメータ k によって、二重の経路積分を行います。一般に多重経路積分を「軌路積分 trajectory integral」と呼ぶことにします。軌道や経路だけでなく、軌跡も求めることができます。
図の巻貝の形、なんだか脳に似ていますね。脳の体積を軌路積分で求めることができそうです。
数学的操作による造形
回す、裏返すといった幾何的操作によって、ありえない立体をつくることも可能です。たとえば下図左のように、平行な線分の組のうち一方を回転させ、ねじれの位置にくるようにします。その際、平行な線分の端を予めつなげておきます。このとき、ねじれた平面ができます。これを「捩面」と命名します。捩面はゴム膜で作れそうですが、その面積を求めるには、どうすればよいでしょうか、考えてみてください。
また、以上の操作でできた軌跡は上図右のような立体になります。これを「歪包」と命名します。捩面の方程式が求まれば、歪包の体積を軌路積分で求めることができそうです。
おまけですが、拉げた立体「拉体」の体積も、軌路積分で求められます。２種類の拉体をそれぞれ「膨」「媚」と名づけました。
